Las matemáticas son con frecuencia consideradas como la expresión más pura de la capacidad humana para el pensamiento abstracto , sin embargo, en la práctica, varias especies de animales poseen la capacidad de juzgar las diferencias de tamaño y cantidad, incluso de contar un pequeño número de cosas.

Hachas de mano proporcionales

Suponemos que nuestros primeros ancestros humanos tenían habilidades similares a otros animales y pudieron juzgar dimensiones relativas y cantidades.

El arqueólogo británico John Gowlett, especializado en el paleolítico, demostró que los homínidos de hace unos 700.000 años muestran una apreciación compleja por la proporción en el diseño y la construcción de hachas de mano. Una muestra de cientos de hachas de diferentes tamaños en la zona de Kilombe (Kenia), muestra que la proporción entre la anchura y la altura es la misma en todas, independientemente del tamaño, lo que muestra que nuestros antepasados fueron capaces de tener en cuenta una proporción «perfecta».

De lo específico a lo general

¿Qué se entiende por contar? El cálculo antiguo pudo haber involucrado términos cualitativos más que puramente cuantitativos, que implica contar casos específicos de objetos concretos. Esta distinción entre el uso de términos cualitativos relativos al número de casos concretos y términos cuantitativos más abstractos es importante: dar el salto de hablar de «tres cerdos» a hablar de «tres» fue un avance importante en la evolución cognitiva.

Aún sobreviven algunos rastros de este modelo, por ejemplo, el fiyiano antiguo tiene términos como bola, que significa «10 barcos» y koro que significa «10 cocos».

El cuerpo para contar

Los nómadas y las culturas tribales de cazadores y recolectores de la era moderna también ayudan a comprender cómo era el cálculo prehistórico, a pesar de que es un error pensar que estos grupos pueden concebir solo cantidades como uno, dos y muchos. Aunque no suele haber palabras para los números más altos, probablemente por no necesitarlas, los habitantes de estas culturas eran capaces de contar números grandes. En algunos casos se utilizaban sistemas para contar con el cuerpo, con partes del cuerpo que representaban números grandes.

La forma más obvia de contar con el cuerpo, y tal vez la primera en ser utilizada, es con los dedos, lo que conduce a un sistema de base natural de 1 o 10. Pero mediante el uso de otras partes del cuerpo podemos contar otras cantidades. Por ejemplo, los fasu de Nueva Guinea utilizan los dedos para contar de 1 a 5, la línea mayor de la palma para 6, la muñeca para 7, el antebrazo para 8, y así sucesivamente hasta 18 para la nariz. Los yukaghir, pastores de renos nómadas de Siberia oriental, expresaban el tamaño de una manada de 94 renos como «tres personas, sobre una persona, y la mitad de otra persona más también la frente dos ojos y una nariz».

Comencemos a contar…

El cuerpo, cuando lo utilizamos para contar, se convierte en una ayuda de memoria externa, conocido como un sistema de memoria artificial (SMA). La evidencia más antigua de la capacidad matemática prehistórica es otro tipo de SMA, el palo tallado. Este palo tallado en particular, el hueso de Lebombo, es el peroné de un babuino tallado con una serie de 29 muescas, se encontró en una cueva en las montañas de Lobombo, entre Sudáfrica y Suazilandia, y tiene unos 37.000 años de antigüedad.

Un palo tallado es simplemente un palo de hueso, asta o madera marcado con una muesca para representar cada ejemplar de lo que se cuente. En lugar de guardar un registro mental (memoria interna) de la cuenta un palo tallado ofrece almacenamiento en una memoria externa. Los palos de cómputo son tan simples y útiles que todavía están en uso hoy en día.

Se convirtieron en una forma de dinero: mediante la división de un palo tallado por el centro, se crean dos mitades con características coincidentes únicas (debido a la veta de la madera); cada parte en una transacción coge uno y la transacción se considerará completa cuando las dos mitades se hagan coincidir de nuevo. De esta manera, la cantidad especificada en el palo no puede ser manipulada ni falsificada.

En Gran Bretaña, en la época medieval, los palos de cómputo se utilizaban como comprobantes oficiales de los ingresos del gobierno, y los almacenaba por tanto el erario público. Cada cierto tiempo un montón de palos viejos se destruían, pero cuando se abolió el erario público en 1826, dos carretas de palos se quedaron en sus oficinas del Palacio de Westminster hasta que en 1834 el Interventor de Obras decidió quemarlos en los hornos del palacio. EL incendio fue tan intenso que el edificio se quemó y fue reconstruido posteriormente como las Cámaras del Parlamento.

Quipus

Otros tipos de SMA incluyen nudos en una cuerda, piedras, conchas en montones o pilas. Sin embargo los únicos artículos matemáticos del Paleolítico conservados son los palos tallados o variaciones de ellos. Una idea de la complejidad que se puede lograr con una SMA tan simple como cuerdas anudadas proviene de un caso histórico: el quipu o khipu inca.

Los quipus son hebras, generalmente de lana de alpaca o de llama, que cuelga de un cordón o cuerda. Los nudos en cada hebra representan números, cada cifra exacta está indicada por el número de vueltas en un nudo, y los números más grandes mediante la agrupación de los nudos; con nudos de diferentes colores se representan las diferentes categorías u objetos que se cuentan. Usando Khipus, y sin la ayuda de la escritura o números, los contables y vendedores incas, conocidos como quipucamayocs («guardianes de los nudos»), mantenían un registro de los impuestos, diezmos, ingresos, fechas, datos del censo, tierras y datos burocráticos similares en un vasto y poderoso imperio.

El hueso Ishango y el objeto Bodrogkeresztur

Una vez que los números se pueden representar en una forma no específica, como una línea de marcas o partes del cuerpo del dedo a la nariz, es solo un pequeño paso el que queda para conceptualizar números en abstracto. Una línea de 4 marcas puede utilizarse para representar cuatro patos, cuatro días, cuatro cocos o simplemente el número 4.

Posiblemente el artefacto más antiguo que muestra la evidencia de un pensamiento más abstracto acerca de los números es el hueso Ishango, encontrado en el centro de África, en las fronteras de Uganda.

Data de hace unos 25.000 años, y a primera vista parece ser otro palo tallado pero las muescas en el hueso se agrupan en formas interesantes y quizás significativas. Por un lado hay dos filas, cada una suma en total 60, pero la segunda fila consta de grupos de 19, 17, 13 y 11 muescas que curiosamente son los números primos entre 10 y 20. ¿Sabían entonces lo que eran los números primos? Según el arqueólogo Alexander Marschack el hueso Ishango es en realidad un calendario lunar de seis meses, con las marcas de un recuento de las fases de la luna, por lo que el artefacto puede representar la aplicación más antigua conocida de las matemáticas para la hora.

Las teorías de Marschack inspiraron al paleo-arqueólogo László Vértes para interpretar otro antiguo artefacto, el objeto Bodrogkeresztur, como un calendario lunar y posiblemente también una representación de un útero.

Es una pieza con forma de una concha de vieira de piedra caliza, el objeto tiene 27.000 años y mide solo 56 mm de ancho. Las marcas alrededor de sus bordes son tan pequeñas que sería poco práctico para usarlo como referencia de calendario, por lo que existen dudas sobre la interpretación de Vértes.

Contando a base de sumas…

El siguiente paso de forma de contar es simple aritmética. Algunos sistemas de recuento se basan en la suma y resta básicas, e incluyen muchos ejemplos de los pueblos aborígenes de Australia.

En estos sistemas, los números se forman sumando otros más pequeños, en el de los kamilaroi, se dice «seis» como «tres y tres». Estos ejemplos utilizan bases dos y tres, respectivamente.

El uso de los dedos de manos y pies para contar llevó instintivamente a la adopción de las bases 5, 10 y 20, denominadas como quinaria, decimal y vigesimal. Contar con combinaciones de 5 y 10 se denomina decimal quinario, mientras que al usar bases de 5 y 20 se llama vigesimal quinario. Los chukchi, pastores de renos del noreste de Siberia, usan un sistema vigesimal quinario para contar sus rebaños: una mano es equivalente al número 5 y una persona es equivalente al número 20. Un número como 100 podría articularse como cinco personas.

En estos sistemas, los números grandes se conciben a menudo al restar de una base, 17 podría ser 20 menos 3. En 1913, el antropólogo W.C.Eels analizó 307 sistemas de numeración utilizados por los pueblos indígenas de América del Norte, 146 eran decimales y 106 eran una combinación de quinario, decimal y/o vigesimal.

Patrones en vasijas y Figuras en el cielo

Las artes y artesanías de los pueblos prehistóricos y tribales a menudo expresan conceptos matemáticos. Los patrones geométricos que aparecen en la cerámica y en el tejido de telas, esteras y cestas se caracterizan por la congruencia (patrones con la misma forma y tamaño), la simetría y la repetición. La presencia de patrones triangulares en la cerámica neolítica de lugares tan diversos como el Egipto del periodo predinástico (4.000 – 3.500 a.C.), y la Europa central del periodo de Hallstat (1.000 – 500 a.C.) muestra la propagación de la aptitud geométrica.

Las raíces de la medición y la topografía también se remontan a la Prehistoria, con el desarrollo de medidas (a menudo basadas en las partes del cuerpo) y las habilidades de trazar líneas, rectas y ángulos rectos. La topografía, contar y otras habilidades matemáticas se reunieron en el desarrollo de la astronomía y el cómputo de tiempo.

Una serie de objetos relacionados con la cultura del Gravetiense (hace 28.000 – 23.000 años) han sido considerados calendarios lunares y posibles mapas de estrellas. Si estas interpretaciones son correctas, constituyen la prueba de que los humanos del Paleolítico estaban pensando y registrando los cielos de una manera sistemática, estimando y midiendo el tiempo y el movimiento de los cuerpos celestes. Este tipo de arqueo-astronomía (astronomía prehistórica) puede haber dado un fruto espectacular en la Edad de Bronce con la construcción de elaboradas obras monumentales de piedra destinadas a medir los fenómenos celestes y funcionar como observatorios.