A continuación las soluciones de los acertijos publicados en la entrada 9 Acertijos de Geometría Plana (Sam Loyd)!

1. El acertijo del lingote de oro

El misterio del lingote de oro se explica matemáticamente diciendo que la nueva forma mide en realidad 23×25 y 1/23, lo que significa que sigue conteniendo 576 pulgadas cuadradas.

2. El acertijo de la bandera danesa

Hay muchas maneras de resolver matemáticamente este acertijo, pero en nombre de la
simplicidad, les diría a los pobres marineros daneses, que nada saben de raíces cuadradas, que restaran la mitad de la diagonal de un cuarto del perímetro de la bandera. Como el perímetro es exactamente de 25 pies, y la diagonal es de 9,01388, debemos sustraer 4,50694 de 6,25 para obtener 1,74306 pies, que es el espesor de la cruz.

3. Las tres servilletas

Tres servilletas de 12 pulgadas cubrirán una mesa cuadrada de 15 pulgadas y 1/4.
Coloque una justo sobre una esquina y las otras cubrirán el resto.

4. Acres gratis

Curiosamente, la respuesta es idéntica al número de pies cuadrados que hay en un acre, es decir, 43.560. Este número de travesaños formará una cerca de tres travesaños que
abarcará un cuadrado de exactamente 43.560 acres.

5. La estrella oculta

6. El problema del nenúfar

Dice Euclides: «Cuando dos cuerdas de arco se intersecan en el interior de un círculo, el
producto de las partes de una será igual al producto de las partes de la otra». En la siguiente ilustración la superficie del agua forma la cuerda de un arco, y como cada parte de esta cuerda es de 21 pulgadas, el producto es 441 pulgadas.

El tallo del nenúfar forma la mitad de la otra cuerda, y como su altura por encima del agua forma una parte de la cuerda, esa parte, 10 pulgadas, multiplicada por la otra parte debe dar las mismas 441 pulgadas que se obtienen a partir del producto de las partes de laotra cuerda. De modo que dividimos 441 por 10, y obtenemos 44,1 pulgadas como medida de la otra parte de esa cuerda. Sumando 10 y 44,1, obtenemos la medida 54,1 como longitud de la cuerda desde A a F, que es el diámetro del círculo. Debemos dividirlo por la mitad para obtener el radio: 27,05. Como la flor se erguía a 10 pulgadas por encima de la superficie del agua, debemos deducir esas 10 pulgadas para obtener la profundidad del lago, que sería de 17,05 pulgadas.

7. El acertijo del lago

En este notable problema descubrimos que el lago contenía exactamente 11 acres, de
modo que la respuesta aproximada «unos 11 acres» no es suficientemente correcta. La
respuesta precisa y definida se elabora por medio de la ley pitagórica que demuestra que en cualquier triángulo rectángulo, el cuadrado del lado más largo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.

En la ilustración, ABC representa a nuestro triángulo, AD tiene 9 unidades de longitud y BD 17, porque 9 x 9 da 81, que sumado a 17 x 17 (289) iguala los 370 acres del campo más largo. AEC es un triángulo rectángulo, y el cuadrado de 5 (25), sumado al cuadrado de 7 (49) demuestra que el cuadrado de AC es 74. CBF es también un triángulo rectángulo.
El cuadrado de sus lados, 4 y 10, demuestran que el cuadrado de BC es igual a 116 acres.
El área de nuestro triángulo ABD es claramente la mitad de 9 x 17, lo que da 76,5 acres.
Como la superficie del rectángulo más la de los dos triángulos es 65,5 restamos esa cantidad de 76,5 para demostrar que el lago contiene exactamente 11 acres.

8. La nueva Estrella

El diagrama adjunto muestra cómo deberían localizar la nueva estrella los astrónomos franceses, que resulta ser de dimensiones tan heroicas que ensombrece a todas las otras estrellas.

9. El acertijo de la piedra de afilar

El mejor método para resolver este problema se basa en el hecho de que las superficies de los círculos son proporcionales al cuadrado de sus diámetros, Si inscribimos un cuadrado ABCD en un círculo que tenga el tamaño original de la piedra de afilar, el círculo E, inscrito dentro de ese cuadrado, tendrá la mitad de la superficie del círculo mayor.

Ahora debemos agregar al círculo E la mitad de la superficie del orificio de la piedra. Para hacerlo, inscribimos un pequeño cuadrado en el orificio F, y dentro de este cuadrado inscribimos un círculo. El círculo más pequeño será, por lo tanto, la mitad de la superficie del orificio. Colocamos el pequeño círculo en G, haciendo que su diámetro forme un cateto de un triángulo rectángulo, cuyo otro cateto es el diámetro del círculo E. La hipotenusa HI tendrá entonces el diámetro de un círculo cuya área es igual a las áreas combinadas del círculo E y
el pequeño círculo G.

Este círculo, que aparece en línea de puntos, representa el tamaño de la piedra cuando ya
ha sido usada a medias. Su diámetro puede calcularse de la siguiente manera:

El diámetro del círculo E es igual al lado del cuadrado más grande. Sabiendo que la diagonal
de este cuadrado es de 22 pulgadas, llegamos a la conclusión de que la raíz cuadrada de
242 es el lado del cuadrado y el diámetro del círculo E. Un procedimiento similar demuestra
que el diámetro del círculo más pequeño equivale a la raíz cuadrada de 242/49.

El cuadrado del diámetro del círculo en línea punteada es igual a la suma de los cuadrados de los dos diámetros ya citados. De modo que sumamos 242 a 242/49 para obtener 12.100/49, cuya raíz cuadrada es 110/7 ó 15 y 5/7. Éste es el diámetro en pulgadas del círculo punteado, y la respuesta correcta al problema.