Los números primos son aquellos que sólo pueden dividirse por sí mismos y por la unidad.

Los números primos son conocidos desde la antigüedad pero, a pesar de la fascinación que han ejercido en los matemáticos de todas las épocas, todavía no ha sido saber si existe o no una ley que rija su formación.

Euclides, en los Elementos, ya había demostrado que la serie de números primos era ilimitada. Además, estableció que si a y b son enteros tales que a·b sea divisible por el primo p, a o b es múltiplo de p. Esta propiedad permitiría demostrar el teorema fundamental: todo número entero que no sea primo puede descomponerse, y sólo de una manera, en un producto de factores primos, lo cual equivale a afirmar que todos los números pueden expresarse por medio de números primos.

El matemático y filósofo griego Eratóstenes (siglo III aC) a falta de una ley de formación de los números primos, había elaborado un procedimiento práctico para discernir los números primos: ese procedimiento se llamó «criba de Eratóstenes».

El genial matemático Fermat creyó haber encontrado una fórmula (creyó haber encontrado ya que no le fue posible demostrarla) que, sin dar todos lo números primos, sólo daba números de esta categoría:

De hecho, Fermat se equivocó ya que su fórmula da números compuestos para n=5,6,7,8,9,11,15… etc. En cambio Fermat formuló un teorema que desempeñó un papel muy importante en las teorías posteriores: si p es primo (y si a no es divisible por p) es divisible por p.

Después de Fermat, Euler, Lagrange, Gauss, Dirichlet y Lucas dieron un gran impulso al desarrollo de la teoría de los números primos.

Euler halló la curiosa fórmula  que da cuarenta números primos  cuando se asigna sucesivamente a x los valores enteros de 0 a 39. En 1896, Hadamard y de la Vallée Poussin establecieron cada uno por su cuenta los valores hacia los que tienden p – el enésimo número primo – y N – el número de los números primos inferiores a N, cuando n y N aumentan indefinidamente y que son: 

La cuestión de la distribución de los intervalos entre los números primos fue objeto de numerosos trabajos ya que resulta muy desconcertante: es posible encontrar una serie de números tan larga como uno quiera y en la cual no figura ningún número primo, en cambio, ciertos números primosmuy grandes sólo están separados por dos unidades (por ejemplo 99 y 131 o 1000000009649 y 1000000009651); hasta hoy no ha sido posible descubrir si este intervalo de dos se daba indefinidamente.

¿Cuál es el mayor número primo conocido?

En 1772, Euler demostró que  era número primo. Lucas indicó luego los números , que tiene diecinueve cifras, luego , que tiene treinta y nueve cifras y que durante mucho tiempo mantuvo el récord de magnitud.

En 1951, Miller descubrió una serie de números primos, entre ellos   que tiene setenta y nueve cifras; y Ferrier estableció el número  que tiene cuarenta y cinco cifras.

Últimamente el empleo de un ordenador permitió determinar números primos absolutamente gigantescos como . En 1963, Donald B. Gillies calculó un número primo que tiene 3376 cifras: el . Por fin, en 1971, Tuckermann calculó un número primo que es el mayor que se conoce actualmente: que tiene 6002 cifras.