El conjunto de los números complejos surge como necesidad de ampliar el conjunto de los números reales para poder dar respuesta a las raíces de índice par de números negativos que no tienen solución dentro del conjunto real. Sin duda este descubrimiento fue trascendental en en la historia de las Matemáticas, el conjunto de los números complejos brindó además grandes aportes a muchos otros conceptos del cálculo, de geometría y trigonometría que se simplificaron a partir de la aparición de estos números.

Estos números pueden explicar muchos fenómenos de las ciencias naturales y de la física, además tienen aplicación en el arte, la música, en medicina, en informática…

¿Habéis oído alguna vez hablar de los fractales? Podríamos decir que son figuras y cuerpos que tienen superficie finita pero perímetro infinito… Sin duda suena paradójico pero para verlos basta con observar la naturaleza…

Aunque la explicación de estos fenómenos requiere de un conocimiento más profundo sobre la «Teoría del Caos» en las expresiones matemáticas que modelizan su formación, intervienen los números complejos.

Historia de los Números Complejos

En la primera mitad del siglo XVI, en Bolonia o Milán, era común ver a los matemáticos celebrando concursos de  problemas en las plazas públicas, concursos seguidos con pasión por miles de ciudadanos. El concurso comenzaba cuando se dejaba un escrito  en una puerta de alguna iglesia, a forma de reto; y concluían con el enfrentamiento dialéctico de los matemáticos, en un acto público seguido por cientos de ciudadanos. Muchos de los problemas estuvieron relacionados con la búsqueda de las soluciones de las ecuaciones polinómicas de tercer y cuarto grado. Durante siglos, grandes matemáticos, de la talla de Gauss y Euler, trataron de dar con una fórmula general para resolverlas y, en el camino, surgieron conceptos fundamentales como los números imaginarios y la teoría de grupos.

En el colegio aprendemos la fórmula para calcular las dos raíces de una ecuación de segundo grado, pero para tercer y cuarto grado no es tan sencillo dar con una fórmula que de las soluciones de forma explícita usando las operaciones elementales (suma, resta, multiplicación, potencia y raíces). A partir de quinto grado ahora se sabe que no existe dicha expresión, pero para llegar a esa conclusión tuvieron que pasar muchos años de investigación matemática.

Uno de los grandes científicos involucrados en este reto fue el ingeniero italiano Rafael Bombelli (1526 – 1572). En alguno de sus descansos Bombelli decidió escribir un libro de álgebra. Había leído detalladamente el Ars Magna, del médico y matemático Gerolamo Cardano, en el que incluía la fórmula de resolución de la ecuación de tercer grado, las raíces de números negativos aparecían en los escritos de Cardano, pero consideraba que eran “tan sutiles que eran inútiles”, y no investigó más sobre ellas; la Arithmetica de Diofanto de Alejandría, de la que hizo una completa traducción; y básicamente todo lo escrito sobre el tema.

En sus estudios, de forma secundaria, dio con una de sus principales contribuciones a las matemáticas: la creación de los números complejos. Estos aparecen al resolver las ecuaciones de segundo grado cuyas soluciones implican una raíz cuadrada de un número negativo. Evidentemente, no hay ningún número real cuyo cuadrado sea negativo, lo que contrariaba tremendamente a los matemáticos de siglo XVI. Las soluciones están en un conjunto de números desconocidos hasta entonces: los números imaginarios. De forma general los números complejos tienen una parte real y otra imaginaria, y se pueden escribir como a+bi, donde i es la raíz de -1, la unidad imaginaria. En este caso, a sería la parte real y b la parte imaginaria

Bombelli desarrolló la aritmética de los números complejos, descubriendo las reglas de su suma y su producto. En palabras del ilustre matemático Gottfried Leibniz, Bombelli se adelantó a su tiempo, Gottfried Leibniz decía que  era una especie de anfibio entre el ser y la nada.

Bombelli se refería a los números imaginarios raíz de -1 y menos raíz de -1 como “più di meno” y “meno di meno”. Fue Leonhard Euler el primero que denotó a la raíz de -1 como i, por imaginario, de manera despectiva dando a entender que no tenían una existencia real, en 1777, quién además se dedicó a estudiarlos en profundidad (su fórmula, una de las más bellas de las matemáticas, de la que hablaremos más adelante, los relaciona con el número e y con π).

Cronológicamente:

1572 – Bombelli realiza cálculos utilizando números imaginarios

1777 – Euler utiliza el símbolo i para representar a la raíz cuadrada de -1.

1811 – Argand crea la representación gráfica del plano complejo, también conocida como plano de Argand.

Sin duda, Bombelli se adelantó a su época.