Los cuadrados mágicos son cuadrados en los cuales están inscritos números elegidos y dispuestos de manera tal que su suma es siempre la misma, ya se los lea por línea, por columna o por las diagonales. Cuando la igualdad de las sumas se cumple sólo en las líneas y columnas pero no en las diagonales se llama cuadrado «semimágico». El siguiente es un cuadrado mágico porque

4+9+2=3+5+7=8+1+6=4+3+8=9+5+1=2+7+6=15

La suma, 15 en este caso, se llama número mágico del cuadrado.

Antes de nuestra era ya los chinos y los indios conocían los cuadrados mágicos. En un manuscrito hindú sobre la magia, el Kaksaputa, se encuentra la regla de construcción de cuatro cuadrados mágicos, uno de los cuales se atribuye al célebre alquimista Nagarjuna que vivió en el siglo I.

A comienzos del siglo VI, el astrónomo Varahamihira indicó la construcción de un cuadrado de cuatro (de 4×4). Otro cuadrado de cuatro, cuyo número mágico es el 34 y al que hizo célebre Alberto Durero, se encontró en las ruinas de la ciudad de Jajuraho que se remontan al siglo XI.

Una teoría completa de la construcción de cuadrados mágicos fue formulada en el siglo XIV en el Ganita-Kaumudi, tratado de aritmética del matemático hindú Narayana. Este clasificó los cuadrados en grupos de lados 4n, 4n+1, 4n-1, 4n+2 e indicó, en el caso de los tres primeros grupos, la construcción por superposición de dos cuadrados, construcción que fue reinventada cuatro siglos después por La Hire. En lo que se refiere a los cuadrados 4n, Narayana reveló el seductor método fundado en el movimiento del caballo de ajedrez. Narayana atribuye todos estos procedimientos a autores anteriores.

En el siglo XV, los monjes jainistas estudiaron cuadrados mágicos complicados que fueron redescubiertos en el siglo XIX y fueron objeto de investigación por parte de matemáticos contemporáneos.

Los cuadrados mágicos, así como el resto de su ciencia, fueron tomados de los indios por los árabes que los mencionan a partir del siglo IX. Del mundo árabe, los cuadrados mágicos pasaron a Europa por intermedio del monje griego Moschopoulos del siglo XIV. Inmediatamente alcanzaron gran éxito, llegaron a constituir un encantamiento contra la peste y eran empleados en talismanes y amuletos.

El alquimista Agrippa, que fue condenado por hechicería, se ocupa en uno de sus libros de la construcción de cuadrados de 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 que consideraba símbolos de los siete planetas conocidos en su época: Saturno, Júpiter, Marte, el Sol, Venus, Mercurio y la Luna. Por eso Fermat habla a veces de «cuadrados planetarios».

Porteriormente, matemáticos notables como Bachet de Meziriac, Fermat, La Hire, Euler, Lucas, establecieron un gran número de propiedades de los cuadrados mágicos.

Lucas dio el nombre de diabólicos a cuadrados que presentan propiedades suplementarias muy sorprendentes. La suma de los elementos de las diagonales parciales, contando en total tantos elementos como tiene el lado del cuadrado, es igual al número mágico. Además, si se corta el cuadrado según una lúnea o una columna y si se lo reconstituye disponiendo de manera diferente sus elementos, pero sin invertir lúneas y columnas, el cuadrado continua siento mágico.

Un cuadrado bimágico o satánico es un cuadrado que continúa siendo mágico si se reemplazan sus elementos por sus cuadrados. Pfeffermann indicó dos cuadrados bimágicos, uno en 1890, cuadrado de 8; el otro en 1891, cuadrado de 9.

Un cuadrado trimágico es aquel que permanece siendo mágico si se reemplazan sus elementos por sus cubos. No se conoce ningún ejemplo de semejante cuadrado… Lo cual no quiere decir que no exista! Animo desde aquí al lector a intentar dar uno =)

Por último, los cuadrados mágicos geométricos son cuadrados en los cuales los productos (y no las sumas) de los elementos de cada línea, columna y diagonal son iguales.

En los cuadrados mágicos de letras, éstas están dispuestas de manera tal que forman palabras cuando se las lee por línea, por columnas o por las diagonales.

Existe un célebre cuadrado semimágico, el cuadrado SATOR, grabado en una columna encontrada a comienzos de este siglo en las ruinas de Pompeya; ese cuadrado era pues conocido en el año 79 de nuestra era; es el siguiente

Aunque literalmente el texto no quiere decir nada se le han encontrado numerosas y misteriosas significaciones. Se hace notar que la palabra TENET, que se lee indiferentemente de derecha a izquierda (como en hebreo) o de izquierda a derecha (como en latín) forma una cruz en medio del cuadrado.

Por otro lado, utilizando las letras del cuadrado se puede formar una cruz. Si interpretamos las letras a y o (alfa y omega), podemos leer «de alfa a omega, Pater Noster», lo cual puede traducirse como «Dios reina en el universo».

Se ha llegado a la conclusión bastante plausible de que este cuadrado era un signo secreto de reconocimiento entre los cristianos pero se le han atribuido muchas otras cosas al cuadrado SATOR. Se ha pretendido encontrar en él los secretos del Egipto antiguo y por anticipación, los de los templarios. Se ha pretendido leer en este cuadrado las leyes de la astronomía y se le han descubierto combinaciones matemáticas inauditas.